IBL

Image Based Lighting多在工程中应用于环境光,分别针对于BRDF中的漫反射与镜面反射

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漫反射

球谐函数

• 球谐函数是一组全球空间的基函数
• 对于基函数的投影系数：$c_l={\int }_{\Omega }f(\omega )\cdot Y_l(\omega )d\omega$
• 可进行旋转变换（基于球谐函数的线性组合拟合以及球谐函数的旋转不变性）： $$R=\left(\begin{array}{ccc}{R}_{xx}& R_{xy}& R_{xz}\\ R_{yx}& R_{yy}& R_{yz}\\ R_{zx}& R_{zy}& R_{zz}\end{array}\right)(作用于坐标轴)$$ 旋转变换时，我们应通过改变系数的方式去实现相应旋转，方便通过N采样时，我们能即时的将其（x,y,z）带入基函数，其中二阶基函数为$B_0=C_0\cdot y$,$B_1=C_1\cdot z$,$B_0=C_2\cdot x$,即： $$\left(\begin{array}{c}{C}_0^{\prime }\\ C_1^{\prime }\\ C_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{R}_{xy}& R_{yy}& R_{zy}\\ R_{xz}& R_{yz}& R_{zz}\\ R_{xx}& R_{yx}& R_{zx}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{C}_0\\ C_1\\ C_2\end{array}\right)$$ 同理，对于三阶的基函数，同样是通过提取多项式中的原基函数的系数建立矩阵（5x5)

球面卷积

• 卷积个人理解：对原函数进行相对位置的积分处理得到一个新函数
• $Irradianc{e}_{IB{L}_{diffuse}}$公式： $$E(n)=\int L_i(w)\cdot max(0,n\cdot \omega )d\omega$$
• 对于球谐基函数或傅里叶基函数此类频域的基函数来说，卷积操作等于基函数系数相乘(基于其基底正交性推导），即： $$\begin{gathered} E(n)=\left(\begin{array}{c}{f}_{0,0}\\ f_{-1,0 \\ }\\ f_{-1,0}\\ \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}f(n{)}_{0,0}& f(n{)}_{-1,0 \\ }& f(n{)}_{-1,0}& \dots \end{array}\right) \end{gathered}$$ 推导过程： $$L_i(w)=\sum _{i=0}^{K-1}{c}_i{Y}_i(w)$$ $$max(0,n\cdot \omega )=\sum _{i=0}^{K-1}{c}_{ni}{Y}_i(w)$$ $$E(n)=\int L_i(w)\cdot max(0,n\cdot \omega )d\omega =\int \sum _{i=0}^{K-1}{c}_i{Y}_i(w)\sum _{i=0}^{K-1}{c}_{ni}{Y}_i(w)d\omega =\sum _{i=0}^{K-1}{c}_i\cdot \sum _{i=0}^{K-1}{c}_{ni}$$ 其中Cni(基于勒让德多项式）： $$c_i^0=\pi \cdot Y_i^0(n),c_i^1=\frac{2}{3}\pi \cdot Y_i^1(n),c_i^2=\frac{1}{4}\pi \cdot Y_i^2(n)$$

真实立体角（Cubemap->球面空间）

• 公式： $$dw=\frac{du\cdot dv\cdot \cos \alpha }{u^2+v^2+1},\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+1}}$$

镜面反射

蒙特卡洛重要性采样

• $Irradianc{e}_{IB{L}_{specular}}$公式： $$L_o=\int L_i(w)\cdot \frac{DFG}{4(N\cdot V)}d\omega =\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N\frac{L_i(w)\ast \frac{DFG}{4(N\cdot V)}}{\rho (w)}$$ 其中 $$\rho (w_l)=\frac{D(H)\cdot (N\cdot H)}{4(H\cdot V)}$$ 推导： $$\rho (w_l)\ast d{w}_l=\rho (h)\ast d{w}_h⟹p(w_l)=\frac{\rho (h)\ast d{w}_h}{d{w}_l}=\frac{\rho (h)}{4(H\cdot V)}(反射立体角的变换)$$
  • 法线分布函数D（H）并非法线的概率密度函数，理由：D(H)为微观面积与宏观面积的立体角之比
  • 对于除以概率密度的理解：
    • 概率密度控制采样密度，积分本质为面积的计算，采样密度与采样范围成反比，累加（采样范围x采样值）=面积
    • g(x)乘以概率密度再积分意义为该积分域的g(x)的平均值，所以累加即可得到 $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)}{p(x)}\ast p(x)dx=\int g(x)\ast p(x)dx=E[g(x)]$$
• 分离为：
• 预滤波环境贴图: $$Su{m}_1=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{L}_i(w)=\int L_i(w)\ast \rho (w)dw$$
• BRDF项： $$Su{m}_2=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N(F_0\cdot (1-(1-V\cdot H{)}^5)\cdot \frac{G\cdot (H\cdot V)}{(N\cdot V)(N\cdot H)}+(1-V\cdot H{)}^5\cdot \frac{G\cdot (H\cdot V)}{(N\cdot V)(N\cdot H)})$$ $$=F_0\cdot \frac{1}{N}(1-(1-V\cdot H{)}^5)\cdot \frac{G\cdot (H\cdot V)}{(N\cdot V)(N\cdot H)}+\frac{1}{N}(1-V\cdot H{)}^5\cdot \frac{G\cdot (H\cdot V)}{(N\cdot V)(N\cdot H)}$$ 其中第一项为R（Scale),第二项为G（Offset). 所有基于BRDF cooktorrance的双向反射分布函数都可以进行类似公式